Необходимые навыки от Хэппи Хольдена. Часть 18: количественные показатели и анализ размерностей

Поэтому я посвящаю эту статью теме количественных показателей – метрик, то есть методу измерения чего бы то ни было. Я говорил о четырех уровнях количественных показателей в моей статье под названием «Способность к производству и другие показатели качества» в июне этого года. Кроме этого я представил пять стадий количественных измерений во второй части статьи «Разработки для производства и монтажа» чуть позднее в том же месяце. Данная статья завершает обсуждение темы количественных показателей вопросом безразмерных величин.

Использование безразмерных величин – это распространенный способ для изучения широкого спектра физических явлений или технических проблем. Безразмерное равенство, алгебраическое уравнение или дифференциал используют переменные без физических измерений. Например, большинство людей предпочитают знать число Маха, а не скорость, так как тогда легче сравнивать производительность. Эти числа (коэффициенты или факторы) являются частью физического мира и существует много их применений. Более чем 1200 безразмерных величин используются в науке, экономике, медицине, геофизике и экологии. Число Авогадро используется в химии. В данной статье мы поговорим только о тех величинах, которые используются в разработке для термодинамики, термомеханики, механики жидкостей и газов, механики твердого тела и электромагнетизма.  

Почему?

Эти показатели или факторы необходимы в современной промышленности и науке. Эти числа являются Показателями качества, которые я описывал в соответствующей статье. Они позволяют нам количественно оценить те физические или умственные действия, которые иначе попадают в сферу мнений и конъюнктуры. В производстве печатных плат уже 40 лет я использую коэффициент сложности. Этот коэффициент позволяет мне моделировать (из информации по разработке) выход продукции, годной с первого предъявления, в производстве печатных плат всего лишь с 3-7% ошибок^[1–3]. Используя этот процесс, можно создать множество других факторов, которые упростят работу с комплексными системами в разработке, производстве или монтаже. Используйте этот процесс в любом месте, где вам нужно измерить что-то, что пока является просто мнением.

Системы измерений

Каждая числовая характеристика, используемая в инженерии, состоит из трех элементов:

• Название
• Величина
• Размерность

Существует два типа измерений: фундаментальные и производные. Фундаментальные измерения не могут быть выражены в терминах других измерений, они служат строительными блоками для более сложных, производных измерений.

Иногда группа фундаментальных измерений имеет специальное название, которым в последствии называют единицу. Особый класс единиц – это такие, с размером одной, которая дает результат, когда все фундаментальные измерения единицы отменяются. Хотя это и не абсолютно точно, такие единицы называются не измеряемыми параметрами. Такие единицы часто называются число, отношение, индекс, фактор, эффект или коэффициент. Примерами являются число Маха, коэффициент гибкости, эффект Томса, число Рейнольдса и коэффициент сцепления. Преимуществом этих абсолютных чисел в том, что их числовые величины независимы от используемой системы измерения.

Все используемые сегодня системы измерений могут быть классифицированы согласно тому, используют ли они метрическую или Американскую/Британскую системы и используют ли они силу или массу в качестве фундаментального измерения. Системы, базирующиеся на силе, включают метрическую MKS силу и Американскую/Британскую инженерные системы. Системы, базирующиеся на массе, включают SI и Британскую систему масс.

• MKS: фундаментальным измерением является метр (м), килограмм (кг), секунда (с), где кг значит силу. Масса является производным измерением от кг-с²/м. До недавнего времени эта системы широко использовалась в инженерии в континентальной Европе и до сих пор является для многих здесь любимой.
• Американская/Британская инженерия: фундаментальным измерением является фут (или дюйм (inch)), фунт (lb), и секунда, где lb значит силу. Соответственно, измерения массы lb-s²/ft (также называют слаг (slug)) или lb-s²/in. 

• СИ (SI): фундаментальным измерением является килограмм (кг) для массы, метр и секунда. Сила – производное измерение с единицей Ньютон. На самом деле в SI есть семь фундаментальных измерений, включающих ампер, градус Кельвина, моль и кандела.

• Британская масса: тут фунт является измерением массы и соответствует 0.45359237 кг в системе СИ. Сила – производное измерение, его единицей является паундаль, который численно равен силе, необходимой, чтобы придать l-ft./s² ускорение массе 1-lb. Один паундаль равен 0.138254954 кг-м/с² в системе СИ, что составляет примерно 0.5 oz. в Американской/Британской системе.

Системы, основанные на массе, имеют преимущество в том, что это измерение не зависит от числовой величины гравитационного ускорения g, которое даже на уровне моря может варьироваться на 0,5% с широтой. Следовательно, использование системы, базирующейся на массе, является единым повсюду во вселенной.

С другой стороны, брать массу в качестве фундаментального измерения непрактично в повседневной жизни, так как масса не может непосредственно восприниматься или измеряться. Скорее масса должна быть определена косвенно путем подвергания ее известному инерционному или гравитационному ускорению и измерением полученной силы.

Анализ размерности

В инженерии анализ размерности – это анализ отношений между различными физическими факторами/величинами с помощью использования их фундаментальных измерений (таких как масса, длина, время, электрический заряд, температура и др.) и единицы измерения (таких как Фаренгейт против Цельсия, мили против километров, фунты против килограммов) и сравнение этих измерений в расчетах. Конвертирование из одной единицы измерения в другую зачастую бывает очень непростым. Анализ размерности или более точно метод маркировки фактора, также известный как метод комплексного фактора, - это широко применяемая практика для таких преобразований с использованием правил алгебры.

В дискуссии на ResearchGate^[4], профессор Иссам Синьяб  (Issam Sinjab) комментирует: «Но на более абстрактном уровне анализа размерностей позволяет вам абстрагироваться от широкого круга явлений и дает возможность посмотреть на режимы, где некоторые параметры исчезают и могу быть проигнорированы. Число Рейнольдса в гидродинамике – отличный пример этого. При очень низком числе Рейнольдса многие параметры в уравнении исчезают и, следовательно, системы могут быть приближены с помощью очень простых уравнений (ламинарный поток), даже если поток при всех числах Рейнольдса в основном определяется уравнением Навье-Стокса».

Для другого интересного примера математик Тейлор (G. I. Taylor) использовал безразмерные формы определенных уравнений, чтобы выяснить высоко засекреченную информацию об атомной бомбе в 1940х.

Цели безразмерных уравнений: 

• Упростить уравнение за счет сокращения числа используемых переменных
• Проанализировать поведение системы независимо от используемых единиц измерения для переменных
• Привести параметры и переменные к единой форме, чтобы все рассчитываемые количества были одного порядка (относительно сходные величины)
• Перевести физические системы от эксперимента к производству.

Концепция физического измерения была представлены Жозефом Фурье в 1822. Физические количества, которые имеют одинаковую меру имеют одинаковую размерность; если они имеют различные размерности, они несоизмеримы. Например, бессмысленно спрашивать, что меньше или больше – грамм или минута.  

Главной задачей в сфере инженерных разработок является определение того, как взаимодействуют физические факторы, влияющие на часть или систему в целом. Это взаимодействие выражается системой уравнений, которая может быть проиллюстрирована графиком или серией графиков.

Иногда взаимодействия прямые и отношения очень легко понять.

В других случаях взаимодействия более сложные и необходимо провести длительное тестирование, чтобы определить релевантные уравнения.

Однако, существует более научный подход для определения, как взаимодействуют различные факторы разработки. Этот метод называется анализ размерности и включает выведение безразмерных комбинаций переменных, которые могут быть легко отображены в графиках. Анализ размерности может использоваться для:

• Быстрое и простое обнаружение определенных ошибок в аналитически полученных отношениях
• Снижение количества тестов, необходимых для установки эмпирических отношений между переменными
• Упрощение представления теоретически и экспериментально полученных отношений
• Служит как базис для всех моделей законов, которые являются важным устройством для снижения стоимости и сложности разработки и научных проблем.

Пример Псевдо независимой переменной – число Рейнольдса

Если вы не знакомы с безразмерными величинами, позвольте мне взять то, о котором вы скорее всего слышали – число Рейнольдса. Ламинарные и турбулентные потоки жидкостей в трубе были впервые описаны количественно Осборном Рейнольдсом в 1883 году в работе, выполненной Сэром Джорджем Стоксом. Рейнольдс обнаружил, что скорость жидкости, плотность жидкости, вязкость жидкости и диаметр трубы определяют потерю энергии/характер течения жидкости в трубе. Анализ размерности совмещает эти четыре переменные и формирует единую безразмерную величину, которую мы называем число Рейнольдса. Рис.1 показывает диаграмму Муди, использующую коэффициент трения Дарси-Вайсбаха против числа Рейнольдса (Re), используемую как независимую переменную для графика для различных относительных неровностей труб в потоке жидкости.

Из уравнения ниже вы можете видеть, как компенсируются размерные условия: